TUTTE LE FORMULE PER RISOLVERE I PROBLEMI DI QUESTA UNITÀ SONO QUI

Esercizio 209 pagina 399

Dalla proprieta angoli supplementari http://www.ripmat.it/mate/i/ib/ibdbb.html

sin(π-α)+cos( π/2- α)+2sin(- α)

 

– il seno di un angolo negativo è uguale all’opposto del seno dello stesso angolo preso positivo: sen(-a) = -sen(a)

sinα +cos( π/2- α)+2sin(- α)

 

sinα +cos( π/2- α) -2sin α

 

Dalla regola fondamentale che cosα=(π/2–α)  (QUI)

sinα +senα -2sin α

sinα +senα -2sin α=0

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Esercizio 210 pagina 399

Cos(-α)cos(α)- sin(-α)cos( π/2- α)

Cosα cosα – sin(-α)cos( π/2- α)

cos(- α)=cos α (se tracci gli assi cartesiani la vedi bene questa uguaglianza

cos²α + sinαcos( π/2- α)

– sin(-α)=sinα diventa positivo perché cambia il segno 2 volte

cos²α +sinαsinα

cos( π/2- α)=sinα disegna l’angolo sugli assi cartesiani e vedi

cos²α+sin²α=1

questa é una regola fondamentale da mandare a memoria

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Esercizio 211 pagina 399

tan( π- α) cos (-a)-cos(a -π/2)

esprimo la tangente con il rapporto seno coseno

sin( π- α)/cos( π- α) cos (-a)-cos(a -π/2)

cos(-a)=cos α lo vedi dalla figura

sin( π- α)/cos( π- α) cos (α)-cos(a -π/2)

cosa α al numeratore e al denominatore si semplificano

sin( π- α)-cos(a -π/2)

dato che sin( π- α)= sin α si ha:moltiplicando una espressione per -1 il risultato non cambia, lo faccio su -cos(a -π/2) che diventa:

sin α -cos(a -π/2)

Adesso l’ultima cosa da fare é togliere di mezzo il coseno ed esprimere l’angolo come seno. Per fare ciò moltiplico per -1 ogni elemento di -cos(a -π/2) che diventa: cos(π/2-α) ma dato cos(π/2-α)= sen α l’epressione si chiude cosi:

sin α – sin α =2sinα

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Esercizio 212 pagina 399

accendi il pc e mettiti davanti le formule

tan(α)sin( π/2- α) +sin(π+α)

sinα/cosαsin( π/2- α) +sin(π+α)

al posto di sin( π/2- α) metto cosα

sinα/cosαcosα +sin(π+α)

cos  α al denominatore e al numeratore si semplificano

sinα +sin(π+α)

dalle formule o figura si ha che sin(π+α)= – sinα

sinα –sinα=0

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Esercizio 213 pagina 399

[sin(-α) +cosa(-α)]²+2sin(π/2-α)sinα

[-sin(α) -cosa(α)]²+2sin(π/2-α)sinα

sviluppo il quadrato

sin²(α) +cosa²(α) – 2sin(α)cos(α)+2sin(π/2-α)sinα

 

sin²(α) +cosa²(α)=1 e sin(π/2-α)=cosα

1 – 2sin(α)cos(α)+2cos(α)sin(α)=1

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Esercizio 214 pagina 399

tan²(7π/2+α)[1-sin²(π/2-α)]+cos²(3π/2+α)

tolgo  gli angoli giro

tan²(π/2+α)[1-sin²(π/2-α)]+cos²(π/2+α)

semplifico [1-sin²(π/2-α)]=cos² (π/2-α)  (DALLA NOTA RELAZIONE sin²+COS²=1

tan²(π/2+α)cos²(π/2-α)+cos²(π/2+α)

esprimo la tangente in funzione del coseno dal formulario

(1-cos²(α)) /cosα²cos²(α)+cos²(α)

cos²α  al denominatore e al numeratore si semplificano

1-cos²α+cos²(α)=1

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Esercizio 215 pagina 399

sin(π+α)+cos(π/2-α)+[sin(-α) +cos(-α)]²+2sin(12π+α)sin(5π/2-α)

applico a tutti le regole gia viste degli angoli complementari e supplementari e semplifico gli angoli giro

-sin(α)+sin(α)+[-sin(α) +cos(α)]²+2sin(α)cos(α)

sviluppo il quadrato all’interno parentesi

-sin(α)+sin(α)+sin²(α) +cos²(α)-2sin(α)cos(α)+2sin(α)cos(α)

semplifico  e dalla prima regola generale concludo:

sin²(α) +cos²(α)=1

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Esercizio 219 pagina 399

[1-sin²(5π/2+x)+cos²(x-π)]tan(-x-9π)

semplifico togliendo gli angoli giro.cioè tolgo tutti i 2π e si suoi multipli

[1-sin²(π/2+x)+cos²(x-π)]tan(-x-π)

il seno di π/2+x=cosx QUI

trasformo x-π in π-x moltiplicando per -1 quindi cos²(x-π)= -cos(π-x)

[1-cos²(x)+cos²(x)]tan(-x-π)

-cos²(x)+cos²(x) si annullano

[1]tan(-x-π)

cambio di segno a tan(-x-π) moltiplicando tutto per -1 quindi tan(-x-π)=-tan(π+x)

-tan(π+x)

la tangente di un angolo π+x é positiva quindi il segno meno davanti alla tangente che c’era ià rimane

 (-tan(x+π))= -tanx

—————— Esercizi con le formule di addizione e sottrazione—————————-

Esercizio 304 pagina 407

semplificare le seguenti espressioni utilizzando le formule di addizione e sottrazione

sin(π/3+x)-cos(π/6-x)

sin (π/3)* cosx+(cosπ/3) *sinx -[(cosπ/6)*cosx+sen(π/6)*senx]

inserisco i valori numerici di sin (π/3)=√3/2 cos(cosπ/3)=1/2 cos cos π/3)=√3/2

(√3/2)*cosx+(1/2)*sinx- (√3/2)*cosx- (1/2)*sinx=0

si elide tutto quindi risultato=zero

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Esercizio 305 pagina 407

sin(π/4+x)-cos(3π/4+x)

sin (π/4)* cosx+(cosπ/4) *sinx -[(cos3π/4)*cosx-sen(3π/4)*senx]

inserisco i valori numerici di sin (π/4)=√2/2,  cos(3π/4)=-√2/2

 (sen3π/4)=√2/2

(√2/2)*cosx+√2/2*sinx –[(-√2/2)*cosx- (√2/2)*sinx=0]

(√2/2)*cosx+√2/2*sinx (√2/2)*cosx (√2/2)*sinx=0]

———–Esercizio 306 pagina 407——————

  cos(α+240°) +sin(α+30°)

determino seno e coseno di 240° e 30°

sen 30°=1/2, cos 30°=√3/2, sin 240°=-√3/2, cos240°=-1/2

applico le formule sottrazione e addizione

-1/2cosα+ (√3/2)*senα +√3/2*sinα*(√3/2)+1/2*cosα

semplificando:

(√3/2)*senα +√3/2*sinα=√3*sinα

—————————-esercizi sulle formule di duplicazione ——————-

Calcolare le funzioni goniometriche di 2α in base alle informazioni assegnate

esercizio 317 pag 408

cosα=1/3      per  3π/2 <α<2π  (angolo nel quarto quadrante)

sinα=√1-(1/3)² (tutto sotto radice) =-(2√2)/3

sin(2α)=2sinα*cosα=(-(2√2)/3)*1/3=-4√2/9

cos2α=cos²(α)-sin²(α)=1/9- 8/9= -7/9

tanα=sinα/cosα=-(2√2/3)/1/3=-2√2

tan 2α=2tanα/(1-tan²α)=(2(-2√2))/ (1-(-2√2)²=(-4*√2)/(1-8)=(4*√2)/7

—————————-Esercizio 318 pagina 408 ———————–

cos a=-√2/3 per  a <π<a

sin a=√1- (√2/3)² (tutto sotto radice)=- √7/3

2sin a =2 (-√7/3)*(√2/2)=(2*√14)/9

2cos a = 2/9 – 7/9=-5/9

3π/4

tan a=(-√7/√2)/(-√2/3)=√7/√2

2tan a=(2√7/√2)/ (1-7/2)=(2√7/√2)/-5/2=(4*√7)/(5√2)

per semplificare moltiplico numeratore denominatore per √2

= – (4*√2*√7)/(5*√2√7)=(4√14)/(5*2)=- (2√14)/5

——————- esprimere in funzione di a l’espressione che contiene 2a———————–

Esercizio 320  pagina 408

(cos 2a)/(cos a)

trasformo cos 2 a con la formula di duplicazione mettendo al posto del sen a 1-cos² a

=( 1+cos² a – (1-cos²a))/cos a=( 1+cos² -1 +cos²)/cos a

semplificando:

=2cos a

—————————esercizio 321 pagina 408—————-

(cos2a) / (cos a +sin a )=(cos² a – sin² a)/(cos a +sin a )

PER SEMPLIFICARE esprimo cos² a  – sin² a=(cos a+sin a)* (cos a – sin a) e ottengo.

((cos a+sin a)* (cos a – sin a))/(cos a +sin a )

semplificando:

= (cos a – sin a)

3π/4

——————————————esercizio 323 pagina 408———————————–

sin2 a +cos 2a +2 sin² a=2sin a*cos a+ cos² a- sin² a+ 2sin² a

=2sin a*cos a+cos² a +sin² a

dato che cos² a +sin² a=1, risulta

1+2sin a*cos a

———————–SEMPLIFICA LE SEGUENTI ESPRESSIONI——————-

esercizio 380 pagina 412

(sin π/4-sin π/3)*(sin π/4+ sin π/3)+cos² π/4

=(√2/2- √3/2)*(√2/2+√3/2)+ 1/2

=(2/4/+((√2*√3)/4) – ((√2√3)/4)) – 3/4+ 1/2=1/4

———————-esercizio 381 pagina 412——————————–

(sin π/2-cos π)*sin 3π/2

(1+1)*(-1)=-2

————esercizio 382 pagina 412——————————-

(sin π/6- 2√2*cosπ/4)*sin 3π/2

(1/2 -(2√2)*(√2/2))* (-1)=(1

3π/4

/2-4/2)*(-1))((1-4)/2)*(-1)

=((1-4)/2)*(-1)=3/2

————————–esercizio 383 pagina 412———————–

6tan π/6+3tan 5π/6 – 9tan7π/6

=6(√3/3)+ 3(-√3/3)- 9(√3/3)=2√3-√3-3√3=-2√3

————————————esercizio 385 pagina 413———————–

2sin²π/4-cosπ/3+ sin π/4=2*(2/4)- 1/2+1=1-1/2+1=2-1/2=3/2

————————————esercizio 386 pagina 413———————–

(sin(π/4)+sin(3π/4))*(sin (5π/4)+2sin (7π/4))=

= ((√2+√2)/2)*(-√2/2- (√2)/2- (2√2)/2))=

=((2√2)/2)*((-√2-2√2)/2))=((2√2)/2)*((-3√2)/2)=-3

————————————esercizio 387 pagina 413———————–

(cos/3π– cos2π/3)*(cos4π/3-cos5π/3)=(1/2-(-1/2))* (-1/2-1/2)=

=(1/+1/2)* ((-1-1/2))=1*(-1)=-1

————————————esercizio 388 pagina 413———————–

tanπ/3*(sinπ/3-cos5π/6)+tanπ/4(cosπ/4+sin5π/4)=

=√3*(√3/2+√3/2)+1*(√2/2-√2/2)=3

3π/4

————————————esercizio 389 pagina 413———————–

(tanπ/6-tan5π/6)*(tanπ/3-tan2π/3)=√3/3+√3/3)*(√3+√3)=4

 

————————————esercizio 391 pagina 413———————–

(sinπ/3+cosπ/6)*(sin5π/6+cosπ/3)=((√3/2)+(√3/2))*(1/2+1/2)=√3

)

————————————esercizio 392 pagina 413———————–

(sin3π/4+cosπ/4)²+[( sin(-π/4)+cos(11π/4)]²

nota:3π/4=135°, 11π/4=495°=135°=180°-135°=45°

(√2/2+√2/2)²+[-√2/2-√2/2]²=4

————————————esercizio 396 pagina 413———————–

(2sin(3π/4)-tan(π/4))/((2cosπ/4)-tan(3π/4))=

=((2√2/2)-1)/((2√2/2)- (-1))=(√2-1)/(√2+1)=

nota: per semplificare moltiplico num e denom per (√2-1)

=((√2-1)*(√2-1))/(√2+1)*(√2-1)=3-2√2

 

————————————esercizio 397 pagina 413———————–

[(sin(π/2-a)+sina]²+2sin(-a)cos(-a)=[cosa+sina]²+2sin(-a)*cos(-a)=

=1+2sinacosa-2sinacosa=1

 

——————————-esercizio 398 pagina 413——————————–

[(sin(2π-a)+cos(π/2-a)]²+8sin²(π/4)-tan(π/4)

=[-sina+sina]²+8*(2/4)-1=4-1=3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Visto anche su IdeeGreen eFotovoltaicosulweb

 

Il prototipo qui descritto é il primo boiler fotovoltaico presentato su internet:  ha sostituito la produzione di acqua calda sanitari di una classica caldaia murale a cui viene lasciata la sola funzione di riscaldare la casa durante i mesi invernali.

L’impianto é in esercizio dal Mese di Agosto 2012 e soddisfa il fabbisogno di acqua calda per usi sanitari di una Famiglia di quattro persone residente nella Provincia di Monza e Brianza. Il boiler solare fotovoltaico è costituito da un comune boiler elettrico modificato per essere alimentato direttamente dalla corrente continua prodotta dai pannelli fotovoltaici e, in mancanza o insufficienza di tale corrente, dalla rete elettrica nazionale in corrente alternata.

Come é fatto il boiler fotovoltaico?

E’ un comune boiler elettrico da 80 Litri al quale é stata sostituita la nativa parte elettrica con un’altra appositamente progettata per essere alimentata direttamente dai pannelli fotovoltaici e dalla rete elettrica in corrente alternata.

Come funziona il boiler fotovoltaico?

L’interruttore lato pannelli fotovoltaici é chiuso per cui circola corrente continua nella resistenza elettrica ad essi collegata e l’acqua del boiler si riscalda, se c’e sole.

L’interruttore lato corrente alternata é aperto, la temperatura dell’acqua sale sino al valore limite di 75 gradi centigradi, superata tale soglia l’interruttore lato corrente continua si apre mentre quello lato corrente alternata era già aperto e rimane aperto.

Quando non c’e sole o quando si preleva una elevata quantità di acqua in poco tempo, se la temperatura dell’acqua si abbassa sotto la soglia regolabile di 48 gradi centigradi  si chiude l’interruttore lato corrente alternata per consentire il passaggio di corrente elettrica dalla rete verso la resistenza ad essa collegata.

Per effetto della corrente elettrica prelevata dalla rete la temperatura sale sino a 50 gradi centigradi poi si apre l interruttore lato corrente alternata, l’interruttore lato pannelli fotovoltaici è chiuso e rimane chiuso. Se persiste la mancanza di sole o si preleva molta acqua in poco tempo la temperatura dell’acqua rimane riscaldata tra 48 e 50 gradi centigradi prelevando corrente dalla rete elettrica.

Quando arriva il sole e la temperatura dell acqua sale oltre i 50 gradi centigradi l’interruttore lato corrente alternata si apre e rimane chiuso solo quello lato corrente continua, che era già chiuso e poi tutto riprende come detto all’inizio.

Cliccare qui per saperne di più.

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